TURUNAN FUNGSI DUA VARIABEL

                 Turunan Fungsi dua Variabel

🔺Turunan Parsial

Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.  Karena  x dan y independen maka :

                (i).  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.

                (ii). y  berubah-ubah sedangkan x tertentu. 

Definisi ⬎

i) Turunan parsial terhadap variabel x

                     Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu maka  z  merupakan fungsi x, Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap x  sbb :

ii) Turunan parsial terhadap variabel y

      Jika  y  berubah-ubah  dan x  tertentu maka  z  merupakan fungsi

      y,  Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap y  sbb :

➤   Fungsi dua peubah atau lebih

            Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit.  Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum  ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh:

1.      z = 2x + y

2.      xy + xz – yz = 0

Contoh:

1.      z = 2x + y

2.   z = ln 

3.   z = 1 – 2  

4.    xy + xz – yz = 0

5.   xy - e= 0

6.   arc tan- 2z = 0

Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z seperti gambar berikut:

Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

            Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.

➤ Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

            Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

            Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan 

 dan

Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

            Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh:

Asalkan limitnya ada.

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.

. Differensial Total dan Turunan Total

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan.

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Fungsi Implisit 4 Peubah

BU dinyatakan dengan

Atau ditulis dalam bentuk

F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0

dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud.

Contoh:

➤Turunan Parsial Fungsi Implisit

Fungsi Implisit 4 Peubah

BU dinyatakan dengan

Atau ditulis dalam bentuk

F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0

dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

Persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) disebut persamaan fungsi eksplisit.

Sebagai contohnya yaitu $y=3x^2+5x-7;y=x^2+\sin x$

Tidak semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksplisit. Contohnya seperti berikut ini:

$\cos (x+y)+\sqrt{x{y}^2}-5x=0;y+\cos \left(x{y}^2\right)+3x^2=5y^2-6$

Secara umum, fungsi f(x,y) = c, dengan c anggota dari bilangan real disebut persamaan fungsi implisit. Turunan fungsi implisit dilakukan pada fungsi-fungsi implisit tanpa mengubah bentuk fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit. Menurunkan fungsi implisit terhadap x dapat dilakukan dengan cara seperti berikut ini:

1. Turunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x.

2. Gunakan aturan rantai

3. Tentukan dy/dx

Aturan rantai adalah sebagai berikut:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

Perhatikan contoh soal berikut ini:

➯Contoh Soal 1:

Tentukan dy/dx jika:

1.  $y=u^2$  dan  $u=x^4$

2. $y=u^2$  dan u merupakan fungsi dari x secara implisit.

Pembahasan:

1. Dari aturan rantai diperoleh bahwa:

            $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

                   $=2u\left(4x^3\right)=2\left(x^4\right)\left(4x^3\right)$

2. Dari aturan rantai diperoleh sebagai berikut ini:

            $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

                   $=2u\frac{du}{dx}$

   Jadi, $\frac{d}{dx}\left(u^2\right)$ dengan u fungsi dari x secara implisit adalah $2u\frac{du}{dx}$.