TURUNAN FUNGSI

-

Turunan Fungsi (Derivatives Or Differentiations)




♥ Turunan fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tak beraturan. Turunan ( diferensial ) dipakai sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman.

Uraian terbaik mengenai turunan fungsi digambarkan melalui konsep limit.
Sebuah kurva y = f(x) memuat dua titik P dan Q dengan koordinat masing-masing adalah P(c, f(c)) dan Q(c+h, f(c+h)). Kemiringan garis PQ dapat ditentukan melalui persamaan tan, sehingga diperoleh definisi turunan. Sebelum mempelajari definisi turunan, perhatikan gambar di bawah!



Definisi Turunan Fungsi

Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x. 

♥ Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai:
  \[f'(x)\;= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\textrm{f(x+h)}-\textrm{f(x)}}{h} \]
  • {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}\,}
  • {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}
  • {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}
  • {\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x\,}
  • {\displaystyle y'} Ialah simbol untuk turunan pertama.
  • {\displaystyle y''} Ialah simbol untuk turunan kedua.
  • {\displaystyle y'''} Ialah simbol untuk turunan ketiga.
Simbol yang lainnya selain {\displaystyle y'\,} dan {\displaystyle y''\,} ialah {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,} dan{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{(dx)^{2}}}\,}.
ATAU
 Misalkan ada y yang merupakan fungssi dari x, ditulis y = f(x). Yang dimaksud dengan turun y terhadap x (dinotasikan dy/dx) atau sering ditulis y’ (baca : “y aksen”) didefinisikan sebagai
definisi turunan
misalkan persamaan y = 4x maka nilai dari turunan tersebut menurut definisi di atas adalah
menghitung turunan lewat limit definisinya
Contoh penggunaan pengertian turunan fungsi yang diberikan dalam definisi turunan di atas untuk mencari nilai turunan.

Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi

Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah:
  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

♥ Rumus-Rumus Turunan Fungsi Al Jabar

1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat

Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya dapat menggunakan rumus f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} sebagai berikut:
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}
= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}
= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})
= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}
Maka, rumus turunan fungsi pangkat ialah:
f'(x ) = nx^{n-1}

2. Rumus turunan hasil kali fungsi f(x) = u(x) \cdot v(x)

Rumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}
=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}
= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)
= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)
u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'
Maka, rumus turunan fungsinya ialah:
f'(x)=u'v+uv'

3. Rumus turunan fungsi pembagian f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}
Sehingga,
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}
=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)} - \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}
=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}- \lim\limits_{h\to0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)
=\frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2} \rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2}
Maka, rumus turunan fungsinya adalah
f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi f(x)=(u(x))^n

Perlu diingat, apabila f(x) = x^n, maka:
f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1
Karna f(x) = (u(x))^n=u^n, maka:
f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}
Atau,
f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'
Maka, rumus turunan fungsinya ialah:
f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'

4. Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Berdasarkan definisi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yakni:
  1. y = \sin x \rightarrow y' = \cos x
  2. y = \cos x \rightarrow y' = - \sin x
  3. y = \tan x \rightarrow y' = \sec^2 x
  4. y = \cot x \rightarrow y' = - \csc^2 x
  5. y = \sec x \rightarrow y'
  6. y = \csc x \rightarrow - \csc \times \cot x
  7. y = \sin^n x y' = n \sin^{n-1} \times \cos x
  8. y = \cos^nx \rightarrow y' = -n \cos^{n-1} \times \sin x
  9. y = \sin u \rightarrow y' = u' \cos u
  10. y = \cos u \rightarrow y' = - u' \sin u
  11. y = \tan u \rightarrow y' = u' \sec^2 u
  12. y = \cot u \rightarrow y' =-u' \csc^2u
  13. y = \sec u \rightarrow y' = u' \sec u \tan u
  14. y = \csc u \rightarrow y' = -u' \csc u \cot u
  15. y = \sin^nu \rightarrow y' = n.u' \sin^{n-1} \cos u
  16. y = \cos ^nu \rightarrow y'= -n \cdot u' cos^{n-1}u \cdot \sin u


👉Contoh Soal dan Pembahasannya

Contoh soal ke 1:

Tentukanlah turunan fungsi dari f(x) = 2x(x4 – 5).
Pembahasan:
Misalkan apabila u(x) = 2x dan v(x) = x4 – 5, maka:
u‘ (x) = 2 dan v‘ (x) maka = 4x3
Dengan demikian, diperoleh penjabaran dan hasilnya:
f ‘(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

Contoh ke 2: Soal Turunan Fungsi Al Jabar

Turunan fungsi pertama dari f(x) = 4 \sqrt{2x^3 - 1} ialah:
Pembahasan:
Soal ini merupakan soal fungsi yang berbentuk y = au^n yang dapat dibahas dan diselesaikan dengan menggunakan rumus y' = n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'. Maka:
f(x) = 4 \sqrt{2x^3-1} = 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}
Sehingga turunannya yaitu:
f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2
=2(2x^3-1) \cdot 6x^2
= 12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}
= \frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}
=\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}

Contoh Soal 4: Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari:
f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}
Pembahasan :
Untuk menyelesaikan soal ini kita dapat menggunakan rumus campuran yaitu:  f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}dan juga  y' = n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u .
Maka:
f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5})}}
f(x) = \frac{6}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}
f'(x) = \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}
f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos(3x-\frac{\pi}{5})}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{1}{3}}}
f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos(3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5}})} 

♥ Aplikasi Turunan

1. Menentukan gradien garis singgung suatu kurva

Gradien garis singgung (m) pada suatu kurva y = f(x) dirumuskan sebagai:
m = y' = f'(x)
Persamaan garis singgung pada suatu kurva y = f(x) di titik singgung (x_1, y_1) dirumuskan sebagai:
y - y_1 = m(x - x_1) \rightarrow m = f'(x_1)

2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun

  • Syarat interval fungsi naik \rightarrow f'(x) > 0
  • Syarat interval fungsi turun \rightarrow f'(x) < 0

3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya

Jika fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f'(x) = 0, maka fungsi memiliki nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dari fungsi y = f(x) dapat berupa nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau nilai belok. Jenis nilai stasioner ini bisa ditentukan dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut.
  • Nilai maksimum \rightarrow f'(x) = 0 dan \rightarrow f"(x) < 0
Jika f'(x_1) = 0 dan f'(x_1) < 0, maka f'(x_1) adalah nilai balik maksimum dari fungsi y = f(x) dan titik (x_1 f(x)) adalah titik balik maksimum dari kurva y = f(x).
  • Nilai minimum \rightarrow f'(x) = 0 dan f"(x) > 0
Jika f'(x_1) = 0 dan f'(x_1) > 0 , maka f(x_1) adalah nilai balik minimum dari fungsi  y = f(x) dan titik (x_1f(x)) adalah titik balik minimum dari kurva y = f(x).
  • Nilai belok \rightarrow f'(x) = 0 dan f"(x) = 0
Jika f'(x_1) = 0 dan f''(x_1 = 0), maka f(x_1) adalah nilai belok dari fungsi y = f(x) dan titik (x_1f(x)) adalah titik belok dari kurva y = f(x).

4. Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu \frac{0}{0} atau  \frac{\infty}{\infty}

Jika \lim \limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} merupakan limit berbentuk tak tentu  \frac{0}{0} atau \frac{\infty}{\infty}, maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu f(x) dan g(x) masing-masing diturunkan.
\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}
Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi jika dengan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing f(x) dan f(x) diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu. Cara penyelesaian seperti ini disebut Dalil L’hopital.

5. Menentukan rumus kecepatan dan percepatan

Jika rumus atau persamaan posisi gerak suatu benda sebagai fungsi waktu diketahui yaitu s = f(t), maka rumus kecepatan dan kecepatannya dapat ditentukan yaitu:
  • Rumus kecepatan \rightarrow v = s' = f'(t)
  • Rumus percepatan \rightarrow a = s' = f"(t)

👉Contoh Soal Turunan Fungsi dan Pembahasan

Contoh Soal 1 – Turunan Fungsi Aljabar

Turunan pertama dari f(x) = 4 \sqrt{2x^3 - 1} adalah
Pembahasan 1:
Soal ini merupakan fungsi yang berbentuk y = au^n yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus y' = n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'. Maka:
f(x) = 4 \sqrt{2x^3-1} = 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}
Sehingga turunannya:
f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2
=2(2x^3-1) \cdot 6x^2
= 12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}
= \frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}
=\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}

Contoh Soal 2 – Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari
f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}
Pembahasan 2:
Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan rumus campuran yaitu  f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2} dan juga  y' = n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u . Sehingga:
f(x) = \frac{6}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5})}}
f(x) = \frac{6}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}
f'(x) = \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}
f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos(3x-\frac{\pi}{5})}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{1}{3}}}
f'(x) = \frac{-6(sin(3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos(3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5}})}
f'(x) = \frac{-6cot(3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin(3x-\frac{\pi}{5})}}

Contoh Soal 3 – Aplikasi Turunan

Tentukan nilai maksimum dari  f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x pada interval -1 ≤ x ≤ 3.
Pembahasan 3:
Ingat syarat nilai fungsi f(x) maksimum adalah f'(x) = 0 dan  f"(x) < 0 maka:
  • f_{max} jika f'(x) = 0
3x^2 - 12x + 9 = 0
x^2 - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
dan  x_1 = 1  dan x_2 = 3
f_{max} = f(1) = 1^3 - 6.1^2 + 9.1
f_{max} = 4

😄

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

TURUNAN FUNGSI DUA VARIABEL

-
Gambar
                  Turunan  Fungsi dua  Variabel 🔺Turunan  Parsial Diketahui   z = f(x,y) fungsi  dengan dua variabel independen x dan y.    Karena  x dan y independen maka :                  (i).  x  berubah-ubah sedangkan y tertentu.                 (ii). y  berubah-ubah sedangkan x tertentu.   Definisi ⬎ i)  Turunan   parsial terhadap  variabel  x                      Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu maka  z  merupakan fungsi  x ,  Turunan  parsial  z =  f (x,y) terhadap x  sbb : ii)  Turunan  p...
Baca selengkapnya

Turunan Fungsi Implisit

-
Gambar
FUNGSI IMPLISIT Dalam matematika sebuah  fungsi implisit  adalah fungsi yang mana variabel tak bebas  tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk variabel bebas   Menyatakan sebuah fungsi  f   secara eksplisit  adalah memberikan cara untuk menentukan nilai  keluaran  dari sebuah fungsi  y  dari nilai  masukan   x : {\displaystyle y=f(x)} Sebailknya, sebuah fungsi adalah  implisit  apabila nilai  y  didapatkan dari  x  dengan  memecahkan  persamaan dalam bentuk: {\displaystyle R(x,y)=0} Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, tetapi kita tidak diberikan rumus  eksplisit  untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya. Secara formal, sebuah fungsi  f : X → Y  dikatakan sebagai  fungsi implisit  apabila fungsi tersebut memenuhi persamaan: {\displaystyle R(x,f(x))=0} untuk semua  x ∈...
Baca selengkapnya