Turunan Fungsi Implisit

FUNGSI IMPLISIT

Dalam matematika sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel tak bebas tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk variabel bebas Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x:

${\displaystyle y=f(x)}$

Sebailknya, sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan dari x dengan memecahkan persamaan dalam bentuk:

${\displaystyle R(x,y)=0}$

Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, tetapi kita tidak diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya.

Secara formal, sebuah fungsi f:X→Y dikatakan sebagai fungsi implisit apabila fungsi tersebut memenuhi persamaan:

${\displaystyle R(x,f(x))=0}$

untuk semua x∈X, dengan R adalah fungsi pada perkalian Cartesian X × Y.

menentukan turunan fungsi yang dinyatakan secara eksplisit. Misalnya $y=4x^2 + x$, dengan turunan $\frac{dy}{dx}=8x+1$. Namun, coba perhatikan fungsi berikut ini.$$\begin{aligned} 4x^2y-xy=x^3+1 \end{aligned}

Persamaan di atas mendefinisikan y sebagai fungsi implisit dari x. Tapi ternyata persamaan di atas dapat dimodifikasi sehingga y menjadi fungsi eksplisit dari x.$$\begin{aligned} 4x^2y-xy &= x^3+1 \\ \left( 4x^2-x \right) y &= x^3+1 \\ y &= \frac{x^3+1}{4x^2-x} \end{aligned}

Nilai dari $\frac{dy}{dx}$ dapat dicari dengan menggunakan aturan pembagian.$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{3x^2(4x^2-x)-(x^3+1)(8x-1)}{(4x^2-x)^2} \\ &= \frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4-x^3+8x-1)}{(4x^2-x)^2} \\ &= \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x)^2} \end{aligned}

Turunan fungsi di atas dapat dicari dengan mengubahnya menjadi fungsi dalam bentuk eksplisit. Tapi, tidak semua fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Misalnya fungsi$$\begin{aligned} y^3-2y=3x^2-1 \end{aligned}

Karena adanya fungsi semacam ini, maka kita perlu belajar menentukan turunan dari fungsi yang dinyatakan secara implisit. Sesuai namanya, proses penentuan turunan fungsi implisit disebut turunan implisit. Kita akan menentukan turunan dari fungsi di atas.

Pertama, turunkan kedua ruas persamaan di atas terhadap $x$.$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(y^3-2y)&=\frac{d}{dx}(3x^2-1) \\ \end{aligned}

Jika diturunkan terhadap $x$, ekspresi aljabar yang memuat $y$ tidak dapat dipandang sebagai sebuah konstan, yang turunannya bernilai nol. Karena, sebelumnya telah dibicarakan bahwa y merupakan fungsi implisit dari x. Untuk itu, kita perlu menggunakan aturan rantai.

Misalkan $u=y^3-2y$, sehingga$$\begin{aligned} \frac{du}{dx}&=\frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \\ &= (3y^2-2) \frac{dy}{dx} \end{aligned}

Atau secara operasional, jika ekspresi aljabar tersebut hanya memuat y, maka kita cukup menentukan turunannya terhadap y, kemudian mengalikannya dengan $\frac{dy}{dx}$. Turunan dari $y^3-2y$ terhadap y adalah $3y^2-2$, sehingga turunannya terhadap x adalah $(3y^2-2) \frac{dy}{dx}$. Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, kita peroleh$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(y^3-2y)&=\frac{d}{dx}(3x^2-1) \\ (3y^2-2) \frac{dy}{dx}&=6x \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{6x}{3y^2-2} \end{aligned}

Nah, kita peroleh $\frac{dy}{dx}$ dari fungsi tersebut. Kita akan membahas soal lainnya sebagai contoh.

Contoh 1

Tentukan $\frac{dy}{dx}$ dari $xy^2=x-8$.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap $x$.$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(xy^2)&=\frac{d}{dx}(x-8) \\ \end{aligned}

Karena $y$ merupakan suatu fungsi dalam $x$, maka $xy^2$ dapat dipandang sebagai perkalian dua buah fungsi, yang turunannya dapat dicari dengan menggunakan aturan perkalian, misalkan $u=x$ dan $v=y^2$.$$\begin{aligned} u&=x \Longrightarrow \frac{du}{dx}=1 \\ v&=y^2 \Longrightarrow \frac{dv}{dx}=2y \cdot \frac{dy}{dx} \end{aligned}Sehingga →$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(xy^2)&=u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx} \\ &= x \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} + y^2 \cdot 1 \\ &= 2xy \cdot \frac{dy}{dx} + y^2 \end{aligned}

Dengan menentukan turunan dari suku lainnya, diperoleh$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(xy^2)&=\frac{d}{dx}(x-8) \\ 2xy \cdot \frac{dy}{dx} + y^2&=1 \\ 2xy \cdot \frac{dy}{dx}&=1-y^2 \\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1-y^2}{2xy} \\ \end{aligned}

Diperoleh turunan pertama dari fungsi tersebut. Akan tetapi, apakah kita yakin dengan hasil yang diperoleh dengan turunan implisit? Agar lebih yakin, kita akan menentukan turunan sebuah fungsi dengan dua cara, kemudian membandingkan hasil yang diperoleh. Kita akan menggunakan fungsi implisit, yang pada awal pembahasan, turunannya dicari dengan mengubah fungsi tersebut ke dalam bentuk eksplisit. Fungsi tersebut adalah $4x^2y-xy=x^3+1$.

Contoh 2

Tentukan $y'=\frac{dy}{dx}$ dari $4x^2y-xy=x^3+1$ dengan turunan implisit.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x. Agar proses pengerjaan menjadi lebih sederhana, kita akan menggunakan notasi $y'$ untuk menggantikan $\frac{dy}{dx}$.$$\begin{aligned} (8xy + 4x^2y')-(y+xy') &= 3x^2 \\ 8xy + 4x^2y'-y-xy' &= 3x^2 \\ 4x^2y'-xy' &= 3x^2-8xy+y \\ (4x^2-x)y' &= 3x^2-8xy+y \\ y' &= \frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x} \end{aligned}

Akhirnya, kita peroleh hasil dengan turunan implisit. Jika dilihat secara sekilas, hasil ini berbeda dari hasil yang diperoleh sebelumnya. Namun coba perhatikan, ternyata hasil ini masih memuat variabel y, sedangkan hasil yang kita peroleh sebelumnya hanya memuat variabel x. Kita ketahui bahwa$$\begin{aligned} y &= \frac{4x^2-x}{x^3+1} \end{aligned}

Substitusi nilai y pada hasil yang diperoleh dengan turunan implisit.$$\begin{aligned} y' &= \frac{3x^2-8xy + y}{4x^2-x} \\ &= \frac{3x^2-8x \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right) + \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right)}{4x^2-x} \\ &= \frac{ \frac{3x^2(4x^2-x)}{4x^2-x}-\frac{8x(x^3+1)}{4x^2-x} + \frac{x^3+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\ &= \frac{ \frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4 + 8x) + (x^3+1)}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\ &= \frac{ \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\ &= \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x)^2} \end{aligned}

Nah, akhirnya kita memperoleh hasil yang sama. Selanjutnya, kita akan berlatih menyelesaikan soal-soal lainnya.

Contoh 3

Tentukan $y'$ dari $xy+\sin{xy}=1$.

Pembahasan

Sama seperti contoh sebelumnya, kita turunkan kedua ruas terhadap $x$.$$\begin{aligned} (y+xy') + \cos{xy} (y+xy')&=1 \\ y+xy' + y \cos{xy} + xy' \cos{xy}&=1 \end{aligned}

Tambahkan kedua ruas dengan $-y-y\cos{xy}$, sehingga diperoleh$$\begin{aligned} xy' + xy' \cos{xy}&=1-y-y\cos{xy} \\ y' (x + x \cos{xy})&=1-y-y\cos{xy} \\ y' &=\frac{1-y-y\cos{xy}}{x + x \cos{xy}} \end{aligned}

Diperoleh nilai $y'$ dari fungsi tersebut. Kita beralih ke soal berikutnya.

Contoh 4

Tentukan persamaan garis singgung fungsi $y+\cos{xy^2}+3x^2=4$ pada titik (1, 0).

Pembahasan

Pertama, kita tentukan nilai $y'$. Turunkan kedua ruas terhadap $x$.$$\begin{aligned} y'+(-\sin{xy^2})(y^2 + 2xyy')+6x&=0 \\ y'-y^2\sin{xy^2}-2xyy'\sin{xy^2}+6x&=0 \end{aligned}

Tambahkan kedua ruas dengan $-6x+y^2\sin{xy^2}$, sehingga diperoleh$$\begin{aligned} y'-2xyy'\sin{xy^2}&=-6x+y^2\sin{xy^2} \\ y'(1-2xy\sin{xy^2})&=-6x+y^2\sin{xy^2} \\ y'&=\frac{-6x+y^2\sin{xy^2}}{1-2xy\sin{xy^2}} \end{aligned}

Selanjutnya, kita tentukan gradien garis singgung fungsi pada titik (1, 0), dengan mensubstitusi koordinat titik tersebut pada $y'$.$$\begin{aligned} y'&=\frac{-6 \cdot 1+0^2 \cdot \sin{1 \cdot 0^2}}{1-2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot \sin{1 \cdot 0^2}} \\ &= \frac{-6+0}{1-0} \\ &= -6 \end{aligned}

Diperoleh gradien garis singgung di titik (1, 0) adalah -6. Persamaan garis singgung yang melalui titik (1, 0) dengan gradien 6 adalah$$\begin{aligned} y-0&=-6(x-1) \\ y&=-6x+6 \end{aligned}Jadi, persamaan garis singgung fungsi tersebut di titik (1, 0) adalah $y=-6x+6$.