BARIS DAN DERET
A. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
📢Barisan adalah suatu bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Sedangkan deret adalah jumlah dari bilangan.
🌸 Barisan dan Deret Aritmetika
Pengertian
📢Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Harga yang tetap ini dinamakan beda. Suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b adalah
a,a + b,a + 2b,a + 3b, dan seterusnya.
Dengan memperhatikan pola keberaturan empat suku pertama,
Suku pertama = u1= a = a + ( 1 – 1 )b
Suku kedua = u 2 = a + b = a + ( 2 – 1 )b
Suku ketiga = u 3 = a + 2b = a + ( 3 – 1 )b
Suku keempat = u 3 = a + 2b = a + ( 4 – 1 )b
Maka suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah
u n = a + ( n – 1 )b
Contoh Soal :
📢Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Jika barisan aritmetikanya adalah u1 , u 2 , ….., u n , maka deret aritmetikanya adalah:
n
k=1
S n = ∑ Uk = u1+ u 2 + …..+ u n
Suku ke-n dan jumlah suku n suku pertama deret aritmetika
Pada deret aritmetika u 1+ u 2 + …..+ u n dengan suku pertama = u1= a dan beda deret = b, maka suku ke-n deret ini adalah u n = a + ( n – 1 )b dan jumlah n suku pertamanya adalah
S n = u1+ u 2 + …..+ u n = ½ n ( u1+ un )=1/2 n (2a + (n-1)b)
Contoh Soal :
1. Diketahui barisan aritmatika : -3 , 2 , 7 , 12 , ....
Tentukan :
a). Suku ke-8
b). Suku ke-20
Jawab :
a = -3
b = 5
Un = a + (n-1).b U20 = -3 + (20-1).5
U8 = -3 + (8-1).5 = -3 + 19.5
= -3 + 7.5 = 92
= 32
2. Diketahui suatu deret aritmatika : 3, 7, 11, 15, ...., hitung beda dan suku ke-7 dari contoh deret tersebut?
Jawab:
Dik :
deret : 3,7 , 11, 15, ...
Ditanya : b dan U7 ?
Penyelesaian :
b = 7-3 = 11-7 = 4
Un = a + (n-1) b
= 3 + (7-1) 4
= 3 + (6).4
= 3 + 24
= 27
Jadi beda adalah 4 dan Suku ke-7 adalah 27.
🌸 Barisan dan Deret Geometri
Pengertian
📢Barisan geometri adalah suatu barisan yang mempunyai pola keberaturan hasil bagi dua suku berturutan tetap harganya. Harga yang tetap ini dinamakan rasio. Suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah a, ar, ar 2 , ar 3 , dan seterusnya dengan memperhatikan pola keberaturan empat suku pertamanya. Suku pertama = u 1= a = ar 0= ar 1−1,
Suku kedua = u 2 = ar = ar 2−1
Suku ketiga = u 3 = ar 2 = ar 3−1
Suku keempat = u 4 = ar 3 = ar 4−1
maka suku ke-n suatu barisan geometri adalah
u n = ar n−1
deret geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometrinya adalah :
n
k=1
S n = ∑ Uk = u1+ u 2 + …..+ u n
Suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri
Pada deret geometri u 1+ u 2 + …..+ u n dengan suku pertama = u 1= a dan rasio deret = r , dengan r _ 1, maka suku ke-n deret ini adalah u n = ar n−1 dan jumlah n suku pertamanya adalah S n = u1+ u 2 + …..+ u n = a + ar + ar 2 + …..+ ar n−1 = a .1- rn 1 – r
Contoh Soal :
1. Carilah suku ke 8 dari barisan di bawah ini !
a) 2,4,8,16,32,... b) 2,1,1/2,1/4,1/8,...
2. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 27 dan U5 = 243. Berapakah 6 suku
pertama deret tersebut?
Penyelesaian :
1. a) U1 = 4 U8 = U1 . r8-1 = 2 . 27 = 2 . 128 = 256
U2 = 2
r = U2 : U1
= 4 : 2
= 2
b) U2 = 1 U8 = U1 . r8-1 = 2 . (1/2)7 = 2 x 1/128 = 1/64
U1 = 2
r = U2 : U1
= 1 : 2
= 1/2
2. U3 = a . r3-1 = a . r2 = 27 27 = U1 . (3)3-1
U5 = a . r5-1 = a . r4 = 243 27 = U1 . 32
27 = U1 . 9
U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27
r2 = 9
U1 = 27 : 9 = 3
r = 3
S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092
B. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
🌸Pengertian Dan Rumus Barisan Geometri
📢Barisan Geometri dapat didefinisikan sebagai barisan yang tiap-tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.
Contoh Barisan Geometri
Untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri perhatikan contoh berikut:
3, 9, 27 , 81, 243, ...
Barisan di atas adalah contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. rasio pada suatu barisan dapat dirumuskan menjadi:
r = ak+1/ak
Dimana ak adalah sembarang suku dari barisan geometri yang ada. sementaraak+1 adalah suku selanjutnya setelah ak.untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus : Un = arn-1
Dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.
Mari kita pelajari penggunaan rumus-rumus barisan geometri di atas dalam menyelesaikan soal:
Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri
Contoh Soal 1
Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?
Penyelesaian:
a = 3
r = 4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5
Masukkan ke dalam rumus:
Un = arn-1
U5 = 3 x 45-1
U5 = 3 x 256 = 768 bakteri
🌸Pengertian dan Rumus deret Geometri
📢Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: an = a1rn-1, maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi:
Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1
Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:
Setelah diperoleh Sn - rSn = a1 - a1rn maka kita dapat mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut ini:
Berdasarkan kepada hasil perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus jumlan n suku pertama pada sebuah barisan geometri adalah:
Perhatikan cara menggunakan rumus tersebut pada contoh soal di bawah ini:
Contoh Soal Deret Geometr
Contoh Soal 2
Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...
Pembahasan:
a = 2
r = 4
n = 8
Sn = a (1-rn) / (1-r)
Sn = 2 (1-48) / (1-4)
Sn = 2 (1-65536)/ (-3)
Sn = 2 (-65535)/ (-3)
Sn = 2 x 21845
Sn = 43690
PENUTUP
🍉Kesimpulan
Faktor terpenting dalam adalah memahami konsep dan definisi materi itu sendiri dan juga bagiannya.
A. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
📢Barisan adalah suatu bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Sedangkan deret adalah jumlah dari bilangan.
🌸 Barisan dan Deret Aritmetika
Pengertian
📢Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Harga yang tetap ini dinamakan beda. Suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b adalah
a,a + b,a + 2b,a + 3b, dan seterusnya.
Dengan memperhatikan pola keberaturan empat suku pertama,
Suku pertama = u1= a = a + ( 1 – 1 )b
Suku kedua = u 2 = a + b = a + ( 2 – 1 )b
Suku ketiga = u 3 = a + 2b = a + ( 3 – 1 )b
Suku keempat = u 3 = a + 2b = a + ( 4 – 1 )b
Maka suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah
u n = a + ( n – 1 )b
Contoh Soal :
📢Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Jika barisan aritmetikanya adalah u1 , u 2 , ….., u n , maka deret aritmetikanya adalah:
n
k=1
S n = ∑ Uk = u1+ u 2 + …..+ u n
Suku ke-n dan jumlah suku n suku pertama deret aritmetika
Pada deret aritmetika u 1+ u 2 + …..+ u n dengan suku pertama = u1= a dan beda deret = b, maka suku ke-n deret ini adalah u n = a + ( n – 1 )b dan jumlah n suku pertamanya adalah
S n = u1+ u 2 + …..+ u n = ½ n ( u1+ un )=1/2 n (2a + (n-1)b)
Contoh Soal :
1. Diketahui barisan aritmatika : -3 , 2 , 7 , 12 , ....
Tentukan :
a). Suku ke-8
b). Suku ke-20
Jawab :
a = -3
b = 5
Un = a + (n-1).b U20 = -3 + (20-1).5
U8 = -3 + (8-1).5 = -3 + 19.5
= -3 + 7.5 = 92
= 32
2. Diketahui suatu deret aritmatika : 3, 7, 11, 15, ...., hitung beda dan suku ke-7 dari contoh deret tersebut?
Jawab:
Dik :
deret : 3,7 , 11, 15, ...
Ditanya : b dan U7 ?
Penyelesaian :
b = 7-3 = 11-7 = 4
Un = a + (n-1) b
= 3 + (7-1) 4
= 3 + (6).4
= 3 + 24
= 27
Jadi beda adalah 4 dan Suku ke-7 adalah 27.
🌸 Barisan dan Deret Geometri
Pengertian
📢Barisan geometri adalah suatu barisan yang mempunyai pola keberaturan hasil bagi dua suku berturutan tetap harganya. Harga yang tetap ini dinamakan rasio. Suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah a, ar, ar 2 , ar 3 , dan seterusnya dengan memperhatikan pola keberaturan empat suku pertamanya. Suku pertama = u 1= a = ar 0= ar 1−1,
Suku kedua = u 2 = ar = ar 2−1
Suku ketiga = u 3 = ar 2 = ar 3−1
Suku keempat = u 4 = ar 3 = ar 4−1
maka suku ke-n suatu barisan geometri adalah
u n = ar n−1
deret geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometrinya adalah :
n
|
k=1
|
S n = ∑ Uk = u1+ u 2 + …..+ u n
Suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri
Pada deret geometri u 1+ u 2 + …..+ u n dengan suku pertama = u 1= a dan rasio deret = r , dengan r _ 1, maka suku ke-n deret ini adalah u n = ar n−1 dan jumlah n suku pertamanya adalah S n = u1+ u 2 + …..+ u n = a + ar + ar 2 + …..+ ar n−1 = a .1- rn 1 – r
Contoh Soal :
1. Carilah suku ke 8 dari barisan di bawah ini !
a) 2,4,8,16,32,... b) 2,1,1/2,1/4,1/8,...
a) 2,4,8,16,32,... b) 2,1,1/2,1/4,1/8,...
2. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 27 dan U5 = 243. Berapakah 6 suku
pertama deret tersebut?
Penyelesaian :
1. a) U1 = 4 U8 = U1 . r8-1 = 2 . 27 = 2 . 128 = 256
U2 = 2
r = U2 : U1
= 4 : 2
= 2
b) U2 = 1 U8 = U1 . r8-1 = 2 . (1/2)7 = 2 x 1/128 = 1/64
U1 = 2
r = U2 : U1
= 1 : 2
= 1/2
2. U3 = a . r3-1 = a . r2 = 27 27 = U1 . (3)3-1
U5 = a . r5-1 = a . r4 = 243 27 = U1 . 32
27 = U1 . 9
U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27
r = U2 : U1
= 4 : 2
= 2
b) U2 = 1 U8 = U1 . r8-1 = 2 . (1/2)7 = 2 x 1/128 = 1/64
U1 = 2
r = U2 : U1
= 1 : 2
= 1/2
2. U3 = a . r3-1 = a . r2 = 27 27 = U1 . (3)3-1
U5 = a . r5-1 = a . r4 = 243 27 = U1 . 32
27 = U1 . 9
U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27
r2 = 9
U1 = 27 : 9 = 3
r = 3
S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092
r = 3
S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092
B. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
🌸Pengertian Dan Rumus Barisan Geometri
📢Barisan Geometri dapat didefinisikan sebagai barisan yang tiap-tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.
Contoh Barisan Geometri
Untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri perhatikan contoh berikut:
3, 9, 27 , 81, 243, ...
Barisan di atas adalah contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. rasio pada suatu barisan dapat dirumuskan menjadi:
r = ak+1/ak
Dimana ak adalah sembarang suku dari barisan geometri yang ada. sementaraak+1 adalah suku selanjutnya setelah ak.untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus : Un = arn-1
Dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.
Mari kita pelajari penggunaan rumus-rumus barisan geometri di atas dalam menyelesaikan soal:
Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri
Contoh Soal 1
Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?
Penyelesaian:
a = 3
r = 4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5
Masukkan ke dalam rumus:
Un = arn-1
U5 = 3 x 45-1
U5 = 3 x 256 = 768 bakteri
🌸Pengertian dan Rumus deret Geometri
📢Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: an = a1rn-1, maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi:
Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1
Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:
Setelah diperoleh Sn - rSn = a1 - a1rn maka kita dapat mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut ini:
Berdasarkan kepada hasil perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus jumlan n suku pertama pada sebuah barisan geometri adalah:
Perhatikan cara menggunakan rumus tersebut pada contoh soal di bawah ini:
Contoh Soal Deret Geometr
Contoh Soal 2
Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...
Pembahasan:
a = 2
r = 4
n = 8
Sn = a (1-rn) / (1-r)
Sn = 2 (1-48) / (1-4)
Sn = 2 (1-65536)/ (-3)
Sn = 2 (-65535)/ (-3)
Sn = 2 x 21845
Sn = 43690
PENUTUP
🍉Kesimpulan
Faktor terpenting dalam adalah memahami konsep dan definisi materi itu sendiri dan juga bagiannya.
Komentar
Posting Komentar