APLIKASI TURUNAN

APLIKASI TURUNAN

👉 GARIS SINGGUNG

👉   MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI
       (MAXIMIZATION ATAU MINIMIZATION) :
       A FREE OPTIMUM DAN A CONSTRAINED OPTIMUM

💗APLIKASI TURUNAN : GARIS SINGGUNG💗

Materi turunan dalam Matematika memiliki sub bab mengenai persamaan garis singgung suatu kurva, maka materi ini pasti akan di temui jika sedang mengulas mengenai turunan.

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

• gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m
• gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b
• gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x₂,y₂) maka untuk mencari gradien garisnya  m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

• jika saling sejajar maka m₁=m₂
• jika saling tegak lurus maka m₁.m₂=-1 atau m₁=-1/(m₂)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x₁, y₁) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x₁). Sementara itu x₁ dan y₁ memiliki hubungan y₁ = f(x₁). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y₁ = m (x – x₁).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan
                    y - y₁ = m (x - x₁)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :

Contoh 1

Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+2x$ dititik $(1,3)$ adalah ...

Jawab :

Titik singgung : (1, 3)

f(x) = x² + 2x  ⇒  f '(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4

PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

Contoh 2

Persamaan garis singgung kurva $y=2x-3x^2$ di titik dengan absis 2 adalah

Jawab :

Absis (x) = 2

y = 2x − 3x²

y = 2(2) − 3(2)²
y = −8

Titik singgung :  (2, −8)

f(x) = 2x − 3x²  ⇒  f '(x) = 2 − 6x

m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
⇒ m = −10

PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah

y − (−8) = −10(x − 2)

y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

Contoh 3

Persamaan garis singgung kurva $y=2\sqrt{x}$ di titik dengan ordinat 2 adalah

Jawab :

Ordinat (y) = 2
y  = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)

f(x) = 2√x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$
m = f '(1) = $\frac{1}{\sqrt{1}}$
⇒ m = 1

PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1


Contoh 4
Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+5$ yang sejajar dengan garis $2x-y+3=0$ adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

2x − y + 3 = 0  ⇒  m₁ = 2

Sejajar : m₁ = m₂

⇒ m₂ = 2

f(x) = x² + 5   ⇒  f '(x) = 2x

m₂ = f '(x)

2 = 2x

x = 1

y = x² + 5

y = (1)² + 5
y = 6

Titik singgung : (1, 6)

PGS di titik (1, 6) dengan m₂ = 2 adalah

y − 6 = 2(x − 1)

y = 2x − 2 + 6
y = 2x + 4

MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI

💗(MAXIMIZATION ATAU MINIMIZATION)💗

A FREE OPTIMUM

PENGERTIAN DAN PERSYARATAN GLOBAL MAXIMUM ATAU GLOBAL MINIMUM, RELATIVE MAXIMUM ATAU RELATIVE MINIMUM : Dengan fungsi  dari 1 (satu) independent variable y = f (x)

• Dependent variable dari fungsi merupakan the objective function yaitu obyek dari maksimisasi  atau minimisasi. Maksimisasi atau minimisasi menetapkan angka atau bilangan dari independent variable sehingga diperoleh angka atau nilai the objective funcion.
• Baik global maximum atau minimum, maupun relative maximum atau minimum, disebut extremum.

• Persyaratan untuk extremum dan inflection point : Dengan fungsi dari 1 (independent variable) y = f(x)

MAKSIMISASI DAN MINISISASI : A Free optimum dengan fungsi dari 2 atau lebih indenpendent variable1

Fungsi z = f (x,y)

MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI : A CONSTRAINED OPTIMUM (DENGAN BATASAN TERTENTU)

Pengertian a constrained opmization

• Maksimisasi dan minimisasi atau extremum tanpa batasan tertentu (a constraint), disebut a free optimum
• Maksimisasi atau minimisasi atau extremum dengan suatu batasan tertentu ( a constraint atau subject to), disebut a constraint optimization.

SOC ⇓

CONTOH